Верно: согласно листу...

Листик и листка – это формы разных слов. Гласная и в слове листик проверяется по правилу формой листика. Гласная не выпадает, поэтому пишем ик. Листка – форма слова листок.

Правильно: на двухстах семидесяти одном листе.

Если Вы послушаете, как произносятся все перечисленные Вами формы слова лисий, то услышите, что во всех есть звук [й]. Значит, этот звук и является конечным звуком основы прилагательного. Но он передается буквой й только в начальной форме, потому что он стоит в конце. В других формах звук [й] и последующий гласный окончания передаются буквами е, и, я. 

Если ударение в имени падает на последний слог, правильно: Дария – Дарие. В противном случае: Дарии (как Марии).

Правильно в первом варианте.

Лучше так: выдать новый исполнительный лист взамен выданного ранее. 

Верен первый вариант.

Если лист учета – это тип документа (например, как акт или накладная), то его название пишется без кавычек и склоняется: Бланк листа учета приведен в Приложении.